При отключении питания компьютера (из розетки) отказывается включаться (при нажатии кнопки Power не подает признаков жизни совсем) через полчаса-час запускается кнопкой включения без проблем (иногда запускается сам). Подскажите, что делать?

У меня было такое, одним утром комп не включился. Пару раз пересобрал все заново, но безрезультатно. Сменил БП, всё равно не помогло. Оказалось, что не работает мать, когда она привинчена в корпусе к железной стенке, ну в её штатном положении, а лёжа на диване -- работает. В итоге между ней и корпусом я проложил бумагу в два-три слоя, а вместо винтов мать держится на тонкой капроновой бечёвке, пропущенной через все отверстия в ней. Грубо, но работает.

БП менять.

Переставь Биос. Или смени корпус. Случается так, что контакты (проводки), соединяющие мать с корпусом, заедает, и они то не срабатывают, то работают по собственному желанию. Сначала смени корпус, короче, если не поможет, смени Биос.