Как узнать, работают ли кулеры на процессоре и видеокарте, не снимая кожух? Какие проги для этого использовать?

Если кулеры с датчиками оборотов, и материнская плата поддерживает контроль оборотов, то можно воспользоваться программами от производителя материнской платы и видеокарты (например, для устройств от Asus - это программы PCProbe и SmartDoctor). Или универсальными утилитами - типа MotherBoard Monitor, или тестовыми - Everest, например.

Проги брать от производителей материнской платы и видюхи на их сайтах.

Используйте программы мониторинга от производителя матери или сторонние.

Если комп не допотопный то БИОС показывает обороты кулера на проце.

Если видеокарта и материнская плата не имеют соответствующих микросхем для измерения скорости вентиляторов, то не получится. Измерение скорости производится программно-аппаратным способом, то есть нужно, что бы и железо было, и софт, работающий с ним. Читайте описание видеокарты и матери.

Лучше сними кожух и посмотри визуально. Быстрее будет, чем с прогами заморачиваться.